تحصيلات تکميلي

تاريخ دفاع : 24/3/82

رشته و گرايش : رياضي-آناليز

استاد مشاور : دکتر صغري نوبختيان

نام و نام خانوادگي : مجيد فخار

دانشكده : علوم

استاد راهنما : دکتر جعفر زعفراني

تعادلها، نابرابريهاي تغييراتي تعميم يافته و نقطه ثابت

چكيده

تعادل يك مفهوم مركزي در مطالعة سيستمهايي است كه پديده هاي زندگي واقعي را در حوزه اي از اقتصاد و شبكه ها گرفته تا مكانيك در بر مي گيرد. در طول سالهاي متمادي نظرية نقطة ثابت و مسائل بهينه سازي روشهاي رياضي اصلي براي تجزيه و تحليل تعادل بوده اند. بالعكس پيشرفتهاي نظرية نقطة ثابت و بهينه سازي محرك مهمي براي مطالعة تعادل در جهان واقعي از كاربردها بود. از سال 1960 به بعد نابرابريهاي تغييراتي براي اولين بار در زمينة معادلات با مشتقات جزئي به وسيلة استمپاخيا معرفي شدند. و مسائل مكمل به تدريج نقش مهمتري درفرموله شدن وحل تعادل به خصوص درتحقيقات عملي،حمل و نقل و اقتصاد بازي كرده است [85]. با ملاحظه يك مدل جامع توسط دستور بندي بالا، نابرابريهاي تغييراتي مجرد به عنوان ساده ترين و طبيعي ترين روش پيشنهاد شده است. در اين پايان نامه ما اصطلاح مسئله تعادل را مطالق با بلوم واتلي [12] با در نظر گرفتن مطالب بالا اقتباس مي كنيم كه شامل مسائل متعددي از جمله مسئله بهينه سازي، قضاياي نقطه ثابت، نا برابريهاي تغييراتي، قضيه نقطه زيني، مسئله تقريب، مسئله نش به صورت غير تعاوني، مسائل مكمل و غيره مي باشد. هدف ما در اين پايان نامه مطالعه و بررسي مسائل متنوع در قالب مسئله تعادل است.

در فصل اول مفاهيمي اساسي در آناليز غير خطي را معرفي مي كنيم. در فصل دوم صورتهاي جديدي از لم KKM فن به دست آورده ايم و پس از آن به مطالعه جواب مسئله تعادل و نابرابري تغييراتي پرداخته ايم. به هر حال جواب مسئله تعادل را براي توابع دو متغيره شبه يكنوا و يكنوانما بدست مي آوريم كه تعميمي از كارهاي اخيرمي باشد. در فصل سوم صورتهاي جديدي از لم KKM فن در فضاهاي محدب تعميم يافته به دست آورده ايم. به عنوان كابردهايي از اين نتايج ما به مسئله اي كه ايساك، سهگال و سينق [56] براي كرانها بالا و پايين مسئله تعادل مطرح نموده انددر فضاهاي محدب تعميم يافته جواب مي دهيم. پس از آن به عنوان كاربردهائي از آن نتايج وجودي جديدي براي مسئله تعادل به دست مي آوريم. در فصل چهارم مفهوم جديدي از نگاشتهاي Φ - KKM و F Φ - KKM معرفي مي كنيم و با استفاده از آن برخي از قضاياني تعميم يافته KKM را به فضاهاي تعميم يافته گسترش مي دهيم كه در واقع مشخصه خاصيت اشتراك متناهي يك خانواده از زير مجموعه ها را به ما مي دهند. همچنين به عنوان كاربردهائي از اين نتايج صورتهائي از مسئله كرانهاي بالا و پائين تعادل را براي توابع دو متغيره شبه محدب- مقعر تعميم يافته، قضيه رخداد و قضيه نقطه ثابت فن- براودر را به دست آورده ايم.

درفصل پنجم يك قضيه انتخاب تابع پيوسته درفضاهاي محدب تعميم يافته ، يك قضيه رخداد براي كلاس B از نگاشتهاي مجاز ارجح تعريف شده روي فضاهاي محدب تعميم يافته و كاربردهائي از آنها در نابرابريهايي تغييراتي و مسئله شبه تعادل و قضاياي نقطه ثابت به دست مي آوريم. همچنين قضيه نقطه ثابت از نوع هيملبرگ براي يك كلاس K از نگاشتهائي كه خاصيت KKM دارند را با شرايط ضعيفتري در فضاهاي محدب تعميم يافته به دست آورده ايم و نشان داده ايم كه كلاس K شامل كلاسهاي مهمي مي باشد.