تحصيلات تکميلي

نام و نام خانوادگي : منيژه بحريني اصفهاني

دانشکده : علوم

استاد راهنما : دکتر جعفر زعفراني

تاريخ دفاع : 27/8/71

رشته و گرايش : رياضي-محض

استاد مشاور : -

ديفرانسيل پذيري فرشه و ديفرانسيل پذيري گتو در فضاهاي باناخ

چکيده

مفهوم‌ مشتق‌ پذيري‌ توابع‌ محدب‌ بيش‌ از 50 سال‌ است‌ كه‌ مورد توجه‌ قرار گرفته‌است‌. يكي‌ از توابع‌ محدب‌مهمي‌ كه‌ وجود دارد تابع‌ نرم‌ است‌. مشتق‌پذيري‌ تابع‌ نرم‌ به‌ دو نوع‌ مختلف‌، يكي‌ به‌ مفهوم‌ گتو و يكي‌ به‌ مفهوم‌فرشه‌ مورد بررسي‌ قرار گرفته‌است‌. مفهوم‌ مشتق‌پذيري‌ از يك‌ طرف‌ در قسمت‌ بهينه‌سازي‌ توسط‌ عده‌اي‌ ازرياضيدانها مورد توجه‌ قرار گرفته‌است‌ و از طرف‌ ديگر اين‌ مفاهيم‌ از نقطه‌ نظر هندسي‌ فضاهاي‌ با ناخ‌ موردبررسي‌ قرار گرفته‌اند.در اين‌ پايان‌نامه‌ علاوه‌ بر ارائه‌ يك‌ بررسي‌ جامع‌ از كاربردهاي‌ مشتق‌پذيري‌ در بهينه‌سازي‌،تاكيد ما بر قسمت‌ دوم‌ يعني‌ خواص‌ هندسي‌ فضاهاي‌ باناخ‌ است‌. در اين‌ مبحث‌، E را فضاي‌ با ناخ‌ حقيقي‌، D رازير مجموعه‌ غير تهي‌ از E و f:D→R را تابع‌ حقيقي‌ مقدار در نظر مي‌گيريم‌. تابع‌ محدب‌ f:D→R را در x0D مشتق‌پذير گتو گوئيم‌ هر گاه‌ حد:

و براي‌ هر xE موجود باشد در اين‌ صورت‌ تابعك‌ خطي‌ df(x0) را مشتق‌ گتو f در x0 مي‌ناميم‌. همچنين‌ تابع‌محدب f:D→Rرا در x0D مشتق‌پذيرفرشه‌ گوئيم‌ هرگاه‌ تابعك‌ خطي‌ f '(x0) روي‌ E چنان‌ يافت‌ شود كه‌ براي‌هر ε>0 بتوان δ>0 را طوري‌ يافت‌ كه . در اين‌ صورت f '(x0)را مشتق‌ فرشه‌ f در x0مي‌ناميم‌. علاوه‌ بر مفاهيم‌ مشتق‌پذيري‌ فرشه‌ و گتو، زير مشتق‌پذيري‌ توابع‌ محدب‌نيز توسط‌ عده‌اي‌ از رياضيدانها مورد بررسي‌ قرار گرفته‌است‌. تابع‌ محدب‌f:D→R را در نظر بگيريد.زيرديفرانسيل‌ f در x به‌ صورت‌ زير تعريف‌ مي‌شود:

مازور در سال‌ 1933 ثابت‌ كرد يك‌ تابع‌ محدب‌ پيوسته‌ تعريف‌ شده‌ روي‌ يك‌ زير مجموعه‌ محدب‌ باز D ازفضاي‌ با ناخ‌ تفكيك‌پذير E و مشتق‌پذير گتو روي‌ يك‌ زير مجموعه‌ Gδ چگال‌ از D است‌. حدود 35 سال‌ بعد ازآن‌، ادگار آسپلند قضيه‌ مازور را در دو جهت‌ گسترش‌ داد. از يك‌ طرف‌ قضاهاي‌ كليتري‌ را يافت‌ كه‌ همان‌ نيتجه‌ ،قضيه‌ مازور براي‌ آنها برقرار است‌ و از طرف‌ ديگر يك‌ كلاس‌ از فضاهاي‌ باناخ‌ را معرفي‌ كرد كه‌ نتيجه‌اي‌ قويتر ازقضيه‌ مازور براي‌ آنها برقرار است‌.

فضاي‌ باناخ‌ E را آسپلند (آسپلند ضعيف‌) گوئيم‌ هر گاه‌ هر تابع‌ محدب‌ پيوسته‌ تعريف‌ شده‌ روي‌ يك‌ زيرمجموعه‌ محدب‌ باز غير تهي‌ D از E، مشتق‌پذير فرشه‌ (گتو) در هر نقطه‌ از يك‌ زير مجموعه Gδ چگال‌ از Dباشد. در ارتباط‌ با اين‌ فضاها ديويدپرايس‌ در سال‌ 1988 نشان‌ داد كه‌ اگر E يك‌ فضاي‌ آسپلند باشد در اين‌صورت‌ هر تابع‌ موضعاً ليپ‌شتيز تعريف‌ شده‌ روي‌ يك‌ زير مجموعه‌ باز G از E ، مشتق‌پذير فرشه‌ روي‌ يك‌ زيرمجموعه‌ چگال‌ از G ، خواهد بود. بعد از آن‌ در همان‌ سال‌، دبارا. فينزپاتريك‌ و جايلز با استفاده‌ از كارپرايس‌ وتكنيكهاي‌ بكار برده‌شده‌ توسط‌ كندروف‌ (1974) در اين‌ زمينه‌ نشان‌ دادند كه‌ روي‌ يك‌ فضاي‌ باناخ‌ E با دوگان‌روتاوز (گرد)، تابع‌ موضعاً ليپ‌شتيز Φ تعريف‌ شده‌ روي‌ زير مجموعه‌ باز A ، با اين‌ خاصيت‌ كه‌ هر گاه‌ Φ مشتق‌پذير گتو باشد آنگاه‌ مشتق‌پذيراكيد نيز هست‌ و مشتق‌پذير گتو روي‌ يك‌ زير مجموعه‌ Gδ چگال‌ از A خواهد بود. يكي‌ ديگر از موضوعاتي‌ كه‌ در ارتباط‌ مشتق‌پذيري‌ نرم‌ است‌ و در اين‌ پايان‌نامه‌ سعي‌ كرديم‌ به‌ آن‌بپردازيم‌ خاصيت‌ مقطع‌ مازور است‌. مازور اولين‌ كسي‌ بود كه‌ مطالعه‌ فضاهاي‌ باناخ‌ با اين‌ خاصيت‌ كه‌: هرمجموعه‌ محدب‌ بسته‌ كراندار را مي‌توان‌ به‌ صورت‌ اشتراك‌ گويهاي‌ بسته‌ نشان‌ داد را آغاز كرد كه‌ ما آن‌ را خاصيت‌مقطع‌ مازور مي‌ناميم‌. بعد از آن‌ فلپ‌ در سال‌ 1960 در اين‌ زمينه‌ نتايجي‌ را بدست‌ آورد و نشان‌ داد كه‌ در يك‌فضاي‌ باناخ‌ كه‌ مجموعه‌ نقاط‌ قوياً آشكار شده‌ ضعيف‌ * از (*B(x در (*S(x چگال‌ است‌ خاصيت‌ مقطع‌ مازوربرقرار است‌. اما اين‌ مسئله‌ هنوز ناشناخته‌ باقي‌مانده‌ است‌ كه‌ آيا اين‌ يك‌ شرط‌ براي‌ خاصيت‌ مقطع‌ مازور است‌ يانه‌؟ علاوه‌ بر اين‌ مسئله‌ باز ديگر اين‌ است‌ كه‌ در يك‌ فضاي‌ باناخ‌ با خاصيت‌ مقطع‌ مازورمي‌توان‌ وجود نقاط‌ قوياًآشكار شده‌ ضعيف * روي‌ گوي‌ دوگان‌ را تضمين‌ نمود. در سال‌ 1978، جايلز،گرگوري‌ و سميز، ابتدا خاصيت‌مقطع‌ مازور را براي‌ فضاي‌ دوگان‌ مطرح‌ كردند و سپس‌ پاسخ‌ اين‌ سئوال‌ را به‌ فضاهاي‌ باناخ‌ با هر دو خاصيت‌مقطع‌ ارائه‌ دادند. كندروف‌ و جايلز در سال‌ 1992 به‌ بررسي‌ اين‌ گونه‌ فضاها پرداختند و نشان‌ دادند كه‌ در يك‌فضاي‌ باناخ‌ E با هر دو خاصيت‌ مقطع‌، زير مجموعه‌هاي‌ باقيمانده‌ E از S(E) و F از (*S(E چنان‌ وجود دارندكه‌ اولاً هر نقطه‌ از E يك‌ نقطه‌ قوياً آشكار شده‌ از B(x) و هر نقطه‌ از F يك‌ نقطه‌ قوياً آشكار شده‌ ضعيف‌ * از (*B(x و ثانياً نرم‌ X در هر نقطه‌ از E مشتق‌پذير فرشه‌ و نرم‌ *X در هر نقطه‌ از F مشتق‌پذير فرشه‌ است‌ و نگاشت‌ (E , x→D(x را همانريخت‌وار بر روي‌ F تصوير مي‌كند. همچنين‌ نشان‌ دادند كه‌ اين‌ خواص‌ مقطع‌، داراي‌كاربردهايي‌ در مشتق‌پذيري‌ توابع‌ محدب‌ روي‌ فضاي‌ دوگان‌ هستند. از مطالب‌ ديگري‌ كه‌ در ارتباط‌ بامشتق‌پذيري‌ نرم‌، مطرح‌ مي‌شود وجود نزديكترين‌ نقاط‌ در مجموعه‌هاي‌ محدب‌ بسته‌است‌. فيترپاتريك‌ و جاليزدر سال‌ 1988، شرائطي‌ را روي *u*SE بدست‌ آورند كه‌ تحت‌ آن‌ شرائط‌، اگر *u جدا كننده‌ [(B[x,dc(x از C باشد آنگاه‌ يك‌ نزديكترين‌ نقطه‌ در C به‌ x موجود است‌ و شرايطي‌ را نيز براي‌ منحصر به‌ فردي‌ چنين‌ نزديكترين‌نقاطي‌ بدست‌ آوردند. در اين‌ رابطه‌ جايلنز در سال‌ 1989 مشخصه‌اي‌ از مشتق‌پذيري‌ گتو از تابع‌ فاصله‌ داده‌شده‌روي‌ يك‌ فضاي‌ باناخ‌ با نرم‌مشتق‌پذير گتو يكنواخت‌ را ارائه‌ داد. سرانجام‌، با بررسي‌ فضاهاي‌ با خواص‌ قطره‌ وقطره‌ ضعيف‌ به‌ اين‌ پايان‌خاتمه‌ مي‌دهيم‌. داسن‌ در سال‌ 1972 نشان‌ داد كه‌ در هر فضاي‌ با ناخ (|| ||,X) براي‌ هرمجموعه‌ بسته‌ C با فاصله‌ مثبت‌ از ، عنصر xC چنان‌ يافت‌ مي‌شود كه‌ . در سال‌1987، رولويچ‌ با تغييراتي‌ در فرض‌ قضيه‌ قطره‌ دانس‌، بيان‌ مي‌كند كه‌ نرم‌ || داراي‌ خاصيت‌ قطره‌ است‌ اگربراي‌ هر مجموعه‌ بسته‌ C مجزا از ، يك‌ xC چنان‌ يافت‌ مي‌شود كه . جايلز، سميزو بورك‌ در سال‌ 1990 نشان‌ دادند كه‌ خاصيت‌ قطره‌ رولويچ‌ از نرم‌ را مي‌توان‌ توسط‌ نيم‌ پيوسته‌ بالائي‌ بودن‌ بامقادير فشرده‌، نگاشت‌ دوگانگي‌ از گوي‌ S(x) به‌ زير مجموعه‌هاي‌ از گوي‌ دوگان‌ دوم‌ (**S(x مشخص‌ كرد. اين‌مشخصه‌ آنها را به‌ معرفي‌ يك‌ خاصيت‌ قطره‌ ضعيف‌تر از خاصيت‌ قطره‌ رولويج‌ سوق‌ داد و نشان‌ دادند كه‌ در يك‌فضاي‌ باناخ (|| ||,x) ، نرم‌ || || داراي‌ خاصيت‌ قطره‌ ضعيف‌ است‌ اگر و فقط‌ اگر نگاشت‌ دوگانگي‌ f→D(f) روي‌ *x، (n-w) نيم‌پيوسته‌ بالائي‌ با مقادير w ـ فشرده‌ روي‌ (*S(x است‌. كواتزروف‌ در سال‌ 1988، خاصيت‌قطره‌ رولويج‌ از نرم‌ را در جهت‌ ديگري‌ گسترش‌ داد. در واقع‌ مفاهيم‌ قطره‌ از مجموعه‌هاي‌ محدب‌ كراندار بسته‌ رابجاي‌ گويهاي‌ بسته‌ بكار برد در سال‌ 1991 جايلز و كواتزاروف‌ با توجه‌ به‌ ايده‌ قبلي‌ كوتزاروف‌، يك‌ خاصيت‌قطره‌ ضعيف‌تر از خاصيت‌ قطره‌ كوتزاروف‌ را ارائه‌ دادند. ابتدا به‌ بررسي‌ قضيه‌ قطره‌ دانس‌ و مفهوم‌ دنباله‌اي‌رولويج‌ براي‌ مجموعه‌هاي‌ محدب‌ كراندار بسته‌ مي‌پردازند و سپس‌ مشابه‌ قضيه‌ مشخص‌سازي‌ را براي‌ حالت‌قطره‌ ضعيف‌ از نرم‌ را ارائه‌ مي‌دهند.